Pulite il coniglio; privatelo delle interiora, lavatelo, asciugatelo accuratamente e dividetelo in pezzi. In una padella fate scaldare l'olio e il burro; fatevi rosolare i pezzi di coniglio e fateli colorire da ogni parte rigirandoli, di tanto in tanto, con un cucchiaio di legno. Bagnateli con il vino rosso e con il brodo; aggiungete i rametti di prezzemolo e di timo e la foglia di alloro legati insieme con un filo bianco, insaporite con il sale e il pepe; coprite la padella e continuate la cottura a fuoco dolce per circa 35 minuti.
Nel frattempo tritate i capperi; dissalate, diliscate e tritate l'acciuga. Eliminate la parte terrosa dei funghi; lavateli rapidamente e tagliateli a dadini. Togliete il coniglio dalla padella, sgrassate il fondo di cottura e passatelo al passino; mettete di nuovo la padella sul fuoco con la salsa così ottenuta e il coniglio; unitevi i capperi, l'acciuga e i funghi. Fate cuocere per circa 10 minuti e servite il coniglio caldo, accompagandolo, a piacere, con purea di patate.